SW02 – injektiv/surjektiv/bijektiv

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tbstofer
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Joined: 29.09.2019 11:21

SW02 – injektiv/surjektiv/bijektiv

Post by tbstofer » 29.09.2019 11:24

Ich habe zwei Fragen zum Stoff der SW02.

Während der Vorlesung habe ich mir die Notiz gemacht, dass eine Funktion injektiv ist, sofern sie min. einen Schnittpunkt mit einer horizontalen Geraden hat. Das erscheint mir aber falsch - eine Funktion ist injektiv sofern sie nur einen Schnittpunkt mit einer horizontalen Geraden hat. Was ist nun korrekt?

Antwort J. Bürgler
Ein Funktion der Form y=f(x) ist injektiv, falls eine beliebige horizontale Gerade den Graphen der Funktion HÖCHSTENS an einer Stelle schneidet!

Ein wenig unklar ist mir noch, die Definition dass bijektiv Funktionen umkehrbar sind. Eine Funktion kann ja surjektiv, aber trotzdem umkehrbar sein (z.B. x^2 => +-√x).

Antwort J. Bürgler
Es gibt keine Funktion x \mapsto +-\sqrt{x}. Eine Funktion ordnet einem x nämlich GENAU ein y=f(x) zu (und nicht z.B. +-\sqrt{x}).

Definieren bijektive Funktionen, Funktionen welche in Abbildungen eindeutige Werte annehmen und wir von den Abbildungen zum eindeutigen Urbild zurück kommen? Welches bei x^2 bzw. √x nicht eindeutig bestimmbar ist?

Antwort J. Bürgler
Die Funktion für alle reellen Zahlen definierte Funktion y=x^2 ist nicht umkehrbar weil nicht bijektiv. Dies deshalb, weil sie sicher nicht injektiv ist. Man kann aber y=x^2 nur für die positiven reellen Zahlen definieren: dann ist existiert die Umkehrabbildung und sie ist y=\sqrt{x}. Analog kann man y=x^2 nur für die negativen Zahlen definieren und hat dann die Umkehrfunktion y=-\sqrt{x}.

tdkissli
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Re: SW02 – injektiv/surjektiv/bijektiv

Post by tdkissli » 02.10.2019 10:29

tbstofer wrote:
29.09.2019 11:24
... eine Funktion injektiv ist, sofern sie min. einen Schnittpunkt mit einer horizontalen Geraden hat ...
Es ist richtig, dass diese Aussage falsch ist. Eine Funktion darf maximal einen Schnittpunkt mit einer horizontalen Geraden haben. Oder anders gesagt: Zwei unterschiedliche x dürfen nicht gewählt werden können, das sie auf das selbe y abgebildet werden.
tbstofer wrote:
29.09.2019 11:24
Eine Funktion kann ja surjektiv, aber trotzdem umkehrbar sein (z.B. x^2 => +-√x).
Genau. Surjektivität ist eine Bedingung für Bijektivität, sprich jede umkehrbare Funktion ist auch surjektiv.

Zur Bestimmung, ob eine Funktion injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ist, muss zwingend der Definitionsbereich und der Bildbereich betrachtet werden.
Btw: umkehrbar ist equivalent zu bijektiv.

– Damian

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