SVD SW12 Übungen Nr.4

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dbrunner
Beiträge: 1
Registriert: 15.12.2020 20:08

SVD SW12 Übungen Nr.4

Beitrag von dbrunner »

Guten Abend Herr Bürgler

Ich habe eine Frage zu Aufgabe 4 in SW12.
Bei der Ermittlung der U-Matrix habe ich Schwierigkeiten.
In der Lösung ist glaube ich ein Fehler, die Eigenvektoren v1 und v2 werden auf Seite 6 als u1 und u2 beschrieben.
Und die U-Vektoren habe ich mit u1 = A*v1*(1/sigma1) probiert zu rechnen aber da komme ich nicht auf das gleiche Resultat.
So komme ich beim ersten u1 Vektor auf [0.4472, 0.8944]
Kann ich u1 nicht mit der oben erwähnten Formel berechnen? Zusätzlich habe ich mit (A^T)*A gerechnet damit die ATA Matrix zweidimensional ist. Hat das allenfalls einen Einfluss?

Freundliche Grüsse
Dave Brunner

jfbuergi
Beiträge: 156
Registriert: 08.09.2009 17:41

Re: SVD SW12 Übungen Nr.4

Beitrag von jfbuergi »

Die Spaltenvektoren von V sind die Eigenvektoren von A^T*A und diese sind ja auf die Länge Eins normiert. Was man dann noch wählen kann ist das Vorzeichen, denn wenn v ein Eigenvektor von A^T*A ist (also A^T*A*v = lambda*v gilt), dann ist auch -v ein Eigenwert zum selben Eigenwert lambda (denn A^T*A*(-v) = lambda*(-v)).

Wenn man aber mal die Vektoren v, d.h. die Spalten von V festgelegt hat, dann sind wegen A*V = U*Sigma (beachte: Sigma_i^2=lambda_i) auch die Spalten von U bestimmt u_i = 1/sigma_i * A * v_i.

WICHTIG ist also: die Spalten von U und V sind nur bis auf‘s Vorzeichen (d.h. man darf eine Spalte noch mit 1 oder -1 multiplizieren) bestimmt; aber man kann dieses Vorzeichen auch nicht unabhängig wählen, denn es muss A*V = U*Sigma gelten!

Hoffe geholfen zu haben! Schönen Abend - JFB

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